Trigonometry Detailed Answers to 20 Important MCQs

Trigonometry: Detailed Answers to 20 Important MCQs त्रिकोणमिति: 12 महत्वपूर्ण MCQs के साथ विस्तृत उत्तर

त्रिकोणमिति: विस्तृत जानकारी

त्रिकोणमिति (Trigonometry) गणित की एक शाखा है जो त्रिकोणों के कोणों और उनके संबंधित पक्षों के बीच संबंधों को अध्ययन करती है। त्रिकोणमिति का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में होता है जैसे भौतिकी, इंजीनियरिंग, खगोलशास्त्र, भूगोल, और वास्तुकला। यह मुख्य रूप से कोणों और रेखाओं की लंबाई को मापने के लिए उपयोगी होती है। त्रिकोणमिति के प्रमुख अनुप्रयोगों में यांत्रिकी, ध्वनि, प्रकाश, और अन्य भौतिक घटनाओं का विश्लेषण शामिल है।

त्रिकोणमिति के सिद्धांत, विशेषकर साइन (sin), कोसाइन (cos), टैन्जेंट (tan), और उनके संबंधित अवयवों का उपयोग त्रिकोणों के विभिन्न प्रकारों को हल करने के लिए किया जाता है।

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त्रिकोणमिति के प्रमुख तत्व और सूत्र

1. साइन (Sine)

• sin⁡θ=विपरीत पक्षआधार पक्ष\sin \theta = \frac{\text{विपरीत पक्ष}}{\text{आधार पक्ष}}
  यह कोण θ\theta के लिए विपरीत पक्ष और आधार पक्ष के अनुपात को दर्शाता है।

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2. कोसाइन (Cosine)

• cos⁡θ=आधार पक्षसंधि पक्ष\cos \theta = \frac{\text{आधार पक्ष}}{\text{संधि पक्ष}}
  यह कोण θ\theta के लिए आधार पक्ष और संधि पक्ष के अनुपात को दर्शाता है।

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3. टैन्जेंट (Tangent)

• tan⁡θ=विपरीत पक्षआधार पक्ष\tan \theta = \frac{\text{विपरीत पक्ष}}{\text{आधार पक्ष}}
  यह कोण θ\theta के लिए विपरीत पक्ष और आधार पक्ष के अनुपात को दर्शाता है।

4. कोटैन्जेंट (Cotangent)

• cot⁡θ=1tan⁡θ=आधार पक्षविपरीत पक्ष\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{आधार पक्ष}}{\text{विपरीत पक्ष}}

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5. सेकेंट (Secant)

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• sec⁡θ=1cos⁡θ=संधि पक्षआधार पक्ष\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{संधि पक्ष}}{\text{आधार पक्ष}}

6. कोसेकेंट (Cosecant)

• csc⁡θ=1sin⁡θ=संधि पक्षविपरीत पक्ष\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{संधि पक्ष}}{\text{विपरीत पक्ष}}

त्रिकोणमिति के प्रमुख पहचान

• पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem):
  हाईपोटिन्यूज2=विपरीत पक्ष2+आधार पक्ष2\text{हाईपोटिन्यूज}^2 = \text{विपरीत पक्ष}^2 + \text{आधार पक्ष}^2
  यह प्रमेय किसी भी समकोण त्रिकोण के लिए लागू होता है।
• त्रिकोणमिति के पहचान सूत्र (Trigonometric Identity):
  • sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
  • 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta
  • 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta

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त्रिकोणमिति का उपयोग

1. वर्गीय समीकरण (Quadratic Equations):
   त्रिकोणमिति का उपयोग वर्गीय समीकरणों को हल करने में भी किया जाता है, जैसे sin⁡θ=0.5\sin \theta = 0.5 या cos⁡θ=−1\cos \theta = -1 आदि।
2. सर्कल और शंकु (Circle and Cone):
   त्रिकोणमिति का उपयोग गोलाकार और शंक्वाकार आकृतियों की माप करने में किया जाता है।
3. तरंगों और ध्वनि का विश्लेषण (Wave and Sound Analysis):
   त्रिकोणमिति का उपयोग ध्वनि तरंगों, प्रकाश तरंगों, और अन्य प्रकार की तरंगों की गति और आवृत्ति को समझने में किया जाता है।

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MCQs (Multiple Choice Questions) with Detailed Answers

Q1. यदि sin⁡θ=35\sin \theta = \frac{3}{5} और θ\theta एक समकोण त्रिकोण का कोण है, तो cos⁡θ\cos \theta का मान क्या होगा?

• (A) 45\frac{4}{5}
• (B) 35\frac{3}{5}
• (C) 53\frac{5}{3}
• (D) 25\frac{2}{5}
  उत्तर: (A) 45\frac{4}{5}
  स्पष्टीकरण:
  पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

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(35)2+cos⁡2θ=1925+cos⁡2θ=1cos⁡2θ=1−925=1625cos⁡θ=45\left( \frac{3}{5} \right)^2 + \cos^2 \theta = 1 \\ \frac{9}{25} + \cos^2 \theta = 1 \\ \cos^2 \theta = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \\ \cos \theta = \frac{4}{5}

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Q2. tan⁡45∘\tan 45^\circ का मान क्या है?

• (A) 0
• (B) 1
• (C) ∞\infty
• (D) 12\frac{1}{\sqrt{2}}
  उत्तर: (B) 1
  स्पष्टीकरण:
  tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1, क्योंकि tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} और sin⁡45∘=cos⁡45∘=12\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}, इसलिए tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1.

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Q3. यदि sin⁡θ=12\sin \theta = \frac{1}{2}, तो θ\theta का मान क्या होगा?

• (A) 30∘30^\circ
• (B) 45∘45^\circ
• (C) 60∘60^\circ
• (D) 90∘90^\circ
  उत्तर: (A) 30∘30^\circ
  स्पष्टीकरण:
  sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, इसलिए θ=30∘\theta = 30^\circ.

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Q4. tan⁡θ=13\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}, तो θ\theta का मान क्या होगा?

• (A) 30∘30^\circ
• (B) 45∘45^\circ
• (C) 60∘60^\circ
• (D) 90∘90^\circ
  उत्तर: (A) 30∘30^\circ
  स्पष्टीकरण:
  tan⁡30∘=13\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, इसलिए θ=30∘\theta = 30^\circ.

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Q5. यदि cos⁡θ=45\cos \theta = \frac{4}{5}, तो sin⁡θ\sin \theta का मान क्या होगा?

• (A) 35\frac{3}{5}
• (B) 45\frac{4}{5}
• (C) 54\frac{5}{4}
• (D) 15\frac{1}{5}
  उत्तर: (A) 35\frac{3}{5}
  स्पष्टीकरण:
  पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

sin⁡2θ+(45)2=1sin⁡2θ+1625=1sin⁡2θ=1−1625=925sin⁡θ=35\sin^2 \theta + \left( \frac{4}{5} \right)^2 = 1 \\ \sin^2 \theta + \frac{16}{25} = 1 \\ \sin^2 \theta = 1 – \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \\ \sin \theta = \frac{3}{5}

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Q6. csc⁡60∘\csc 60^\circ का मान क्या होगा?

• (A) 23\frac{2}{\sqrt{3}}
• (B) 22
• (C) 32\frac{\sqrt{3}}{2}
• (D) 12\frac{1}{2}
  उत्तर: (B) 22
  स्पष्टीकरण:
  sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, तो csc⁡60∘=1sin⁡60∘=2\csc 60^\circ = \frac{1}{\sin 60^\circ} = 2.

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Q7. sin⁡θ=0\sin \theta = 0, तो θ\theta का मान क्या होगा?

• (A) 0∘0^\circ
• (B) 90∘90^\circ
• (C) 180∘180^\circ
• (D) 360∘360^\circ
  उत्तर: (A) 0∘0^\circ
  स्पष्टीकरण:
  sin⁡0∘=0\sin 0^\circ = 0, इसलिए θ=0∘\theta = 0^\circ.

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Q8. एक समकोण त्रिकोण में यदि sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5}, तो cos⁡A\cos A का मान क्या होगा?

• (A) 45\frac{4}{5}
• (B) 35\frac{3}{5}
• (C) 53\frac{5}{3}
• (D) 25\frac{2}{5}
  उत्तर: (A) (\frac{4

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}{5})
स्पष्टीकरण:
sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1
(35)2+cos⁡2A=1\left( \frac{3}{5} \right)^2 + \cos^2 A = 1
925+cos⁡2A=1\frac{9}{25} + \cos^2 A = 1
cos⁡2A=1−925=1625\cos^2 A = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
cos⁡A=45\cos A = \frac{4}{5}

त्रिकोणमिति: 12 MCQs के साथ विस्तृत उत्तर

त्रिकोणमिति (Trigonometry) गणित की एक महत्वपूर्ण शाखा है, जो त्रिकोणों के कोणों और उनके संबंधित पक्षों के बीच संबंधों को समझने में सहायक होती है। त्रिकोणमिति का उपयोग न केवल गणित, बल्कि भौतिकी, इंजीनियरिंग, खगोलशास्त्र और वास्तुकला जैसे क्षेत्रों में भी होता है। इसके प्रमुख अनुप्रयोगों में कोणों का निर्धारण, लंबाई मापना और किसी वस्तु के स्थान को जानना शामिल है। त्रिकोणमिति में मुख्य रूप से छह प्रमुख त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं: साइन (sin), कोसाइन (cos), टैन्जेंट (tan), कोटैन्जेंट (cot), सेकेंट (sec) और कोसेकेंट (csc)।

आइए, हम त्रिकोणमिति पर आधारित 12 MCQs (Multiple Choice Questions) के साथ उनका विस्तार से उत्तर देखें।

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MCQs और उनके उत्तर

Q1. एक समकोण त्रिकोण में यदि sin⁡θ=35\sin \theta = \frac{3}{5}, तो cos⁡θ\cos \theta का मान क्या होगा?

• (A) 45\frac{4}{5}
• (B) 35\frac{3}{5}
• (C) 53\frac{5}{3}
• (D) 25\frac{2}{5}

उत्तर: (A) 45\frac{4}{5}
स्पष्टीकरण:
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1।
यहां, sin⁡θ=35\sin \theta = \frac{3}{5}, तो sin⁡2θ=(35)2=925\sin^2 \theta = \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{9}{25}।
अब, cos⁡2θ=1−925=1625\cos^2 \theta = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}।
अतः, cos⁡θ=45\cos \theta = \frac{4}{5}।

Q2. tan⁡45∘\tan 45^\circ का मान क्या है?

• (A) 0
• (B) 1
• (C) ∞\infty
• (D) 12\frac{1}{\sqrt{2}}

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उत्तर: (B) 1
स्पष्टीकरण:
tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1, क्योंकि tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} और sin⁡45∘=cos⁡45∘=12 \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}, तो tan⁡45∘=11=1\tan 45^\circ = \frac{1}{1} = 1।

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Q3. यदि sin⁡θ=12\sin \theta = \frac{1}{2}, तो θ\theta का मान क्या होगा?

• (A) 30∘30^\circ
• (B) 45∘45^\circ
• (C) 60∘60^\circ
• (D) 90∘90^\circ

उत्तर: (A) 30∘30^\circ
स्पष्टीकरण:
sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, इसलिए θ=30∘\theta = 30^\circ।

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Q4. tan⁡θ=13\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}, तो θ\theta का मान क्या होगा?

• (A) 30∘30^\circ
• (B) 45∘45^\circ
• (C) 60∘60^\circ
• (D) 90∘90^\circ

उत्तर: (A) 30∘30^\circ
स्पष्टीकरण:
tan⁡30∘=13\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, इसलिए θ=30∘\theta = 30^\circ।

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Q5. यदि cos⁡θ=45\cos \theta = \frac{4}{5}, तो sin⁡θ\sin \theta का मान क्या होगा?

• (A) 35\frac{3}{5}
• (B) 45\frac{4}{5}
• (C) 54\frac{5}{4}
• (D) 15\frac{1}{5}

उत्तर: (A) 35\frac{3}{5}
स्पष्टीकरण:
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1।
cos⁡θ=45\cos \theta = \frac{4}{5}, तो cos⁡2θ=(45)2=1625\cos^2 \theta = \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25}।
अब, sin⁡2θ=1−1625=925\sin^2 \theta = 1 – \frac{16}{25} = \frac{9}{25}।
अतः, sin⁡θ=35\sin \theta = \frac{3}{5}।

Q6. csc⁡60∘\csc 60^\circ का मान क्या होगा?

• (A) 23\frac{2}{\sqrt{3}}
• (B) 22
• (C) 32\frac{\sqrt{3}}{2}
• (D) 12\frac{1}{2}

उत्तर: (B) 22
स्पष्टीकरण:
sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, तो csc⁡60∘=1sin⁡60∘=132=2\csc 60^\circ = \frac{1}{\sin 60^\circ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2।

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Q7. sin⁡θ=0\sin \theta = 0, तो θ\theta का मान क्या होगा?

• (A) 0∘0^\circ
• (B) 90∘90^\circ
• (C) 180∘180^\circ
• (D) 360∘360^\circ

उत्तर: (A) 0∘0^\circ
स्पष्टीकरण:
sin⁡0∘=0\sin 0^\circ = 0, इसलिए (\theta = 0^\circ\।

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Q8. एक समकोण त्रिकोण में यदि sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5}, तो cos⁡A\cos A का मान क्या होगा?

• (A) 45\frac{4}{5}
• (B) 35\frac{3}{5}
• (C) 53\frac{5}{3}
• (D) 25\frac{2}{5}

उत्तर: (A) 45\frac{4}{5}
स्पष्टीकरण:
sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1।
(35)2+cos⁡2A=1\left( \frac{3}{5} \right)^2 + \cos^2 A = 1।
925+cos⁡2A=1\frac{9}{25} + \cos^2 A = 1।
cos⁡2A=1−925=1625\cos^2 A = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}।
अतः, cos⁡A=45\cos A = \frac{4}{5}।

Q9. tan⁡60∘\tan 60^\circ का मान क्या होगा?

• (A) 13\frac{1}{\sqrt{3}}
• (B) 3\sqrt{3}
• (C) 1
• (D) 12\frac{1}{2}

उत्तर: (B) 3\sqrt{3}
स्पष्टीकरण:
tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3}।

Q10. cot⁡45∘\cot 45^\circ का मान क्या होगा?

• (A) 1
• (B) 0
• (C) ∞\infty
• (D) 12\frac{1}{\sqrt{2}}

उत्तर: (A) 1
स्पष्टीकरण:
cot⁡45∘=1\cot 45^\circ = 1, क्योंकि cot⁡θ=1tan⁡θ\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} और tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1।

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Q11. sec⁡30∘\sec 30^\circ का मान क्या होगा?

• (A) 23\frac{2}{\sqrt{3}}
• (B) 2
• (C) 32\frac{\sqrt{3}}{2}
• (D) 32\frac{3}{2}

उत्तर: (D) 32\frac{3}{2}
स्पष्टीकरण:
sec⁡30∘=1cos⁡30∘=132=23\sec 30^\circ = \frac{1}{\cos 30^\circ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}।

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Q12. एक त्रिकोण में tan⁡θ=1\tan \theta = 1, तो θ\theta का मान क्या होगा?

• (A) 30∘30^\circ
• (B) 45∘45^\circ
• (C) 60∘60^\circ
• (D) 90∘90^\circ

उत्तर: (B) 45∘45^\circ
स्पष्टीकरण:
tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1, इसलिए θ=45∘\theta = 45^\circ।

निष्कर्ष:

त्रिकोणमिति गणित की एक महत्वपूर्ण शाखा है, जो हमें कोणों और त्रिकोणों के बीच रिश्तों को समझने में मदद करती है। इसके विभिन्न सिद्धांत और सूत्र छात्रों को गणना करने और विभिन्न समस्याओं का समाधान निकालने में मदद करते हैं। ऊपर दिए गए MCQs और उनके उत्तर त्रिकोणमिति के महत्व को समझने और परीक्षा की तैयारी करने में सहायक होंगे।

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