Volume and Surface Area Comprehensive Guide with 20 Solved Questions

Volume and Surface Area: Comprehensive Guide with 20 Solved Questions आयतन और क्षेत्रफल: विस्तृत मार्गदर्शिका और 20 प्रश्नों के साथ समाधान

आयतन और क्षेत्रफल: विस्तृत जानकारी

आयतन (Volume) और क्षेत्रफल (Surface Area) गणित के महत्वपूर्ण विषय हैं, जो विभिन्न भौतिक आकारों, जैसे घन, आयत, शंकु, गोला आदि के गुण और उनके माप में उपयोग होते हैं। इनका उपयोग न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी, इंजीनियरिंग, वास्तुकला और अन्य क्षेत्रों में भी होता है।

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आयतन और क्षेत्रफल के अध्ययन में प्रमुखत: तीन प्रकार के आंकड़े होते हैं:

1. क्षेत्रफल (Area): किसी दो-आयामी आकार की सतह का माप।
2. आयतन (Volume): किसी तीन-आयामी आकार के अंदर की जगह का माप।

आइए, हम इन दोनों के बारे में विस्तार से जानें और संबंधित सूत्रों के साथ उदाहरण देखें।

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क्षेत्रफल (Surface Area)

क्षेत्रफल किसी ठोस या समतल वस्तु की सतह के कुल क्षेत्र का माप है। विभिन्न रूपों के लिए क्षेत्रफल के सूत्र अलग-अलग होते हैं।

1. वर्ग (Square):

• क्षेत्रफल = Side2\text{Side}^2
• उदाहरण: यदि एक वर्ग की लंबाई 4 मीटर है, तो उसका क्षेत्रफल होगा: Area=42=16 m2\text{Area} = 4^2 = 16 \, \text{m}^2

2. आयत (Rectangle):

• क्षेत्रफल = Length×Width\text{Length} \times \text{Width}
• उदाहरण: यदि आयत की लंबाई 5 मीटर और चौड़ाई 3 मीटर है, तो क्षेत्रफल होगा: Area=5×3=15 m2\text{Area} = 5 \times 3 = 15 \, \text{m}^2

3. वृत्त (Circle):

• क्षेत्रफल = π×r2\pi \times r^2
• उदाहरण: यदि वृत्त का त्रिज्या 7 मीटर है, तो क्षेत्रफल होगा: Area=π×72=3.14×49=153.86 m2\text{Area} = \pi \times 7^2 = 3.14 \times 49 = 153.86 \, \text{m}^2

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4. समलंबी आयत (Parallelogram):

• क्षेत्रफल = Base×Height\text{Base} \times \text{Height}
• उदाहरण: यदि समलंबी आयत की आधार 6 मीटर और ऊंचाई 4 मीटर है, तो क्षेत्रफल होगा: Area=6×4=24 m2\text{Area} = 6 \times 4 = 24 \, \text{m}^2

5. त्रिभुज (Triangle):

• क्षेत्रफल = 12×Base×Height\frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Height}
• उदाहरण: यदि त्रिभुज की आधार 8 मीटर और ऊंचाई 5 मीटर है, तो क्षेत्रफल होगा: Area=12×8×5=20 m2\text{Area} = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \, \text{m}^2

आयतन (Volume)

आयतन किसी तीन-आयामी आकार के अंदर की जगह को मापता है। विभिन्न ठोस आकृतियों के लिए आयतन के अलग-अलग सूत्र होते हैं।

1. घन (Cube):

• आयतन = Side3\text{Side}^3
• उदाहरण: यदि घन की लंबाई 4 मीटर है, तो आयतन होगा: Volume=43=64 m3\text{Volume} = 4^3 = 64 \, \text{m}^3

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2. आयताकार घनपिंड (Cuboid):

• आयतन = Length×Width×Height\text{Length} \times \text{Width} \times \text{Height}
• उदाहरण: यदि आयताकार घनपिंड की लंबाई 5 मीटर, चौड़ाई 3 मीटर और ऊंचाई 2 मीटर है, तो आयतन होगा: Volume=5×3×2=30 m3\text{Volume} = 5 \times 3 \times 2 = 30 \, \text{m}^3

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3. गोला (Sphere):

• आयतन = 43×π×r3\frac{4}{3} \times \pi \times r^3
• उदाहरण: यदि गोला का त्रिज्या 7 मीटर है, तो आयतन होगा: Volume=43×π×73=43×3.14×343=1436.76 m3\text{Volume} = \frac{4}{3} \times \pi \times 7^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 343 = 1436.76 \, \text{m}^3

4. शंकु (Cone):

• आयतन = 13×π×r2×h\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h
• उदाहरण: यदि शंकु का त्रिज्या 5 मीटर और ऊंचाई 10 मीटर है, तो आयतन होगा: Volume=13×3.14×52×10=13×3.14×25×10=261.67 m3\text{Volume} = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 5^2 \times 10 = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 25 \times 10 = 261.67 \, \text{m}^3

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5. आधार और ऊंचाई के साथ शंकु (Frustum of a Cone):

• आयतन = 13×π×h×(r12+r1×r2+r22)\frac{1}{3} \times \pi \times h \times (r_1^2 + r_1 \times r_2 + r_2^2)
• यहाँ r1r_1 और r2r_2 शंकु के ऊपर और नीचे के त्रिज्याएँ हैं, और hh शंकु की ऊंचाई है।

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MCQs (Multiple Choice Questions) on Area and Volume with Detailed Answers

Q1. एक वृत्त का त्रिज्या 7 मीटर है। उसका क्षेत्रफल क्या होगा?

• (A) 153.86 मीटर²
• (B) 149.76 मीटर²
• (C) 157.46 मीटर²
• (D) 160.56 मीटर²
  उत्तर: (A) 153.86 मीटर²
  स्पष्टीकरण:
  क्षेत्रफल = π×r2=3.14×72=153.86 m2\pi \times r^2 = 3.14 \times 7^2 = 153.86 \, \text{m}^2

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Q2. एक घन की लंबाई 5 मीटर है। उसका आयतन क्या होगा?

• (A) 125 मीटर³
• (B) 100 मीटर³
• (C) 150 मीटर³
• (D) 80 मीटर³
  उत्तर: (A) 125 मीटर³
  स्पष्टीकरण:
  आयतन = Side3=53=125 m3\text{Side}^3 = 5^3 = 125 \, \text{m}^3

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Q3. एक आयत का क्षेत्रफल 60 मीटर² और उसकी लंबाई 10 मीटर है। उसकी चौड़ाई क्या होगी?

• (A) 5 मीटर
• (B) 6 मीटर
• (C) 7 मीटर
• (D) 8 मीटर
  उत्तर: (B) 6 मीटर
  स्पष्टीकरण:
  क्षेत्रफल = Length×Width\text{Length} \times \text{Width}
  60=10×Width60 = 10 \times \text{Width}
  Width=6 m\text{Width} = 6 \, \text{m}

Q4. एक आयताकार घनपिंड की लंबाई 4 मीटर, चौड़ाई 3 मीटर और ऊंचाई 2 मीटर है। उसका आयतन क्या होगा?

• (A) 18 मीटर³
• (B) 24 मीटर³
• (C) 30 मीटर³
• (D) 35 मीटर³
  उत्तर: (B) 24 मीटर³
  स्पष्टीकरण:
  आयतन = Length×Width×Height=4×3×2=24 m3\text{Length} \times \text{Width} \times \text{Height} = 4 \times 3 \times 2 = 24 \, \text{m}^3

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Q5. एक शंकु का त्रिज्या 3 मीटर और ऊंचाई 4 मीटर है। उसका आयतन क्या होगा?

• (A) 37.7 मीटर³
• (B) 31.4 मीटर³
• (C) 35.7 मीटर³
• (D) 39.5 मीटर³
  उत्तर: (B) 31.4 मीटर³
  स्पष्टीकरण:
  आयतन = 13×π×r2×h=13×3.14×32×4=31.4 m3\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 3^2 \times 4 = 31.4 \, \text{m}^3

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Q6. एक गोला का त्रिज्या 6 मीटर है। उसका आयतन क्या होगा?

• (A) 904.32 मीटर³
• (B) 820.50 मीटर³
• (C) 800 मीटर³
• (D) 970 मीटर³
  उत्तर: (A) 904.32 मीटर³
  स्पष्टीकरण:
  आयतन = 43×π×r3=43×3.14×63=904.32 m3\frac{4}{3} \times \pi \times r^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 6^3 = 904.32 \, \text{m}^3

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Q7. एक समलंबी आयत की आधार 5 मीटर और ऊंचाई 3 मीटर है। उसका क्षेत्रफल क्या होगा?

• (A) 15 मीटर²
• (B) 20 मीटर²
• (C) 25 मीटर²
• (D) 30 मीटर²
  उत्तर: (A) 15 मीटर²
  स्पष्टीकरण:
  क्षेत्रफल = Base×Height=5×3=15 m2\text{Base} \times \text{Height} = 5 \times 3 = 15 \, \text{m}^2

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Q8. यदि एक आयत का क्षेत्रफल 80 मीटर² और उसकी चौड़ाई 8 मीटर है, तो उसकी लंबाई क्या होगी?

• (A) 6 मीटर
• (B) 10 मीटर
• (C)

अतिरिक्त MCQs और उनके समाधान

Q9. एक घन की प्रत्येक भुजा की लंबाई 7 मीटर है। उसका कुल सतही क्षेत्रफल क्या होगा?

• (A) 294 मीटर²
• (B) 364 मीटर²
• (C) 392 मीटर²
• (D) 420 मीटर²
  उत्तर: (C) 392 मीटर²
  स्पष्टीकरण:
  कुल सतही क्षेत्रफल = 6×(Side2)=6×72=6×49=392 m26 \times (\text{Side}^2) = 6 \times 7^2 = 6 \times 49 = 392 \, \text{m}^2

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Q10. एक आयताकार घनपिंड का आयतन 72 मीटर³ है, और इसकी लंबाई तथा चौड़ाई क्रमशः 6 मीटर और 4 मीटर है। उसकी ऊंचाई क्या होगी?

• (A) 2 मीटर
• (B) 3 मीटर
• (C) 4 मीटर
• (D) 6 मीटर
  उत्तर: (B) 3 मीटर
  स्पष्टीकरण:
  आयतन = Length×Width×Height\text{Length} \times \text{Width} \times \text{Height}
  72=6×4×Height72 = 6 \times 4 \times \text{Height}
  Height=7224=3 m\text{Height} = \frac{72}{24} = 3 \, \text{m}

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Q11. एक शंकु की त्रिज्या 3 मीटर और ऊंचाई 9 मीटर है। उसका घुमावदार सतही क्षेत्रफल क्या होगा?

• (A) 84.78 मीटर²
• (B) 75.36 मीटर²
• (C) 65.32 मीटर²
• (D) 72.45 मीटर²
  उत्तर: (A) 84.78 मीटर²
  स्पष्टीकरण:
  घुमावदार सतही क्षेत्रफल = π×r×l\pi \times r \times l, जहाँ l=r2+h2l = \sqrt{r^2 + h^2}
  l=32+92=9+81=90=9.49l = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 9.49
  घुमावदार सतही क्षेत्रफल = 3.14×3×9.49=84.78 m23.14 \times 3 \times 9.49 = 84.78 \, \text{m}^2

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Q12. एक गोला का कुल सतही क्षेत्रफल 452.16 मीटर² है। उसका त्रिज्या क्या होगा?

• (A) 6 मीटर
• (B) 7 मीटर
• (C) 8 मीटर
• (D) 9 मीटर
  उत्तर: (B) 7 मीटर
  स्पष्टीकरण:
  कुल सतही क्षेत्रफल = 4×π×r24 \times \pi \times r^2
  452.16=4×3.14×r2452.16 = 4 \times 3.14 \times r^2
  r2=452.1612.56=36r^2 = \frac{452.16}{12.56} = 36
  r=36=6 mr = \sqrt{36} = 6 \, \text{m}

Q13. एक समलंब आयत की आधार 8 मीटर और ऊंचाई 6 मीटर है। उसकी भुजाएँ 10 मीटर हैं। उसका परिमाप क्या होगा?

• (A) 36 मीटर
• (B) 40 मीटर
• (C) 44 मीटर
• (D) 48 मीटर
  उत्तर: (C) 44 मीटर
  स्पष्टीकरण:
  परिमाप = 2×(Base+Side)=2×(8+10)=44 m2 \times (\text{Base} + \text{Side}) = 2 \times (8 + 10) = 44 \, \text{m}

Q14. एक सिलेंडर की त्रिज्या 5 मीटर और ऊंचाई 10 मीटर है। उसका आयतन क्या होगा?

• (A) 785 मीटर³
• (B) 800 मीटर³
• (C) 850 मीटर³
• (D) 900 मीटर³
  उत्तर: (A) 785 मीटर³
  स्पष्टीकरण:
  आयतन = π×r2×h=3.14×52×10=3.14×25×10=785 m3\pi \times r^2 \times h = 3.14 \times 5^2 \times 10 = 3.14 \times 25 \times 10 = 785 \, \text{m}^3

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Q15. एक अर्द्धगोला (Hemisphere) का कुल सतही क्षेत्रफल क्या होगा यदि उसकी त्रिज्या 6 मीटर है?

• (A) 452.16 मीटर²
• (B) 339.12 मीटर²
• (C) 282.74 मीटर²
• (D) 314.16 मीटर²
  उत्तर: (D) 314.16 मीटर²
  स्पष्टीकरण:
  कुल सतही क्षेत्रफल = 3×π×r2=3×3.14×62=3×3.14×36=339.12 m23 \times \pi \times r^2 = 3 \times 3.14 \times 6^2 = 3 \times 3.14 \times 36 = 339.12 \, \text{m}^2

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Q16. यदि एक त्रिभुज का आधार 12 मीटर और ऊंचाई 8 मीटर है, तो उसका क्षेत्रफल क्या होगा?

• (A) 48 मीटर²
• (B) 50 मीटर²
• (C) 56 मीटर²
• (D) 60 मीटर²
  उत्तर: (A) 48 मीटर²
  स्पष्टीकरण:
  क्षेत्रफल = 12×Base×Height=12×12×8=48 m2\frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Height} = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48 \, \text{m}^2

निष्कर्ष

आयतन और क्षेत्रफल के सूत्रों को समझना और उनका व्यावहारिक उपयोग करना न केवल छात्रों को परीक्षा में सफलता दिलाता है, बल्कि दैनिक जीवन में भी सहायक होता है। ऊपर दिए गए 20 MCQs आपको इन अवधारणाओं को गहराई से समझने और अभ्यास करने में मदद करेंगे। इन सूत्रों को याद रखें और अभ्यास करते रहें।

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